За едно построение на хипербола и елипса

Ще покажем, че всъщност елипсата и хиперболата не са нищо друго освен парабола.

Първо да си припомним какво представляват коничните сечения. Заокръжността няма какво да говорим. Мисля, че всеки знае дефиницията заокръжност. Какво представлява параболата? Накратко: нека имаме еднаправа b и точка F не лежаща на b. Тогава множеството от точки вравнината, които се намират на равни разстояния от точката F и праватаb образуват парабола. Това най-ясно се вижда от следният чертеж.

Тук |Т1 P1 | = |P1 F|, |Т2 P2 | = |P2 F| и т.н. Като точките P1, P2,…. са от параболата. Как всъщност се построява параболата? Избирамеси върху правата b произволна точка T. Свързваме я с F. Издигаме от Tперпендикуляр t. Построяваме симетралата s на TF. Пресечната точка на sи t е точка от нашата парабола. Надявам се да съм обяснил достатъчноясно как се построява парабола. Сега да си зададем следният въпрос: Каква фигура ще получим, ако построим парабола използвайки вместо праваb някаква крива например окръжност. Няма да пояснявам какво еразстояние между точка и окръжност, тъй като това се знае от училище. Итака нека имаме една окръжност k и точка F лежаща извън k.

Построяваме лъч с начало О и точка М1 като М1 лежи в дъгата MH, къдетоFH е допирателна към k през F. Построяваме H1 на равни разстояния от Fи M1 т.е. построяваме точка от парабола с фокус F и спрямо k. Новсъщност лесно се вижда, че H1 е и точка от хипербола, защото каквато иточка Hi да построим (по този начин) ще имаме |OHi| – |HiF| ще еконстанта. Така построявайки парабола спрямо F и k всъщност построявамехипербола. Окончателно ще получим:

Аналогично, ако изберем фокусът да лежи вътре в окръжността k ипостроявайки парабола спрямо този фокус и k то ще получим елипса. Така всъщност се оказа, че елипсата и хиперболата са параболи. Оттова просто построение на елипса и хипербола следва, че ако ние сме наблюдатели намиращи се върху k и направим измервания върхутраекторията на дадено тяло и искаме да изчислим траекторията му, аконе вземем предвид кривината на k, то напълно е възможно да получимпогрешни изводи за вида на траекторията.

Можете да се опитате да построите елипсата и да намерите лицето й.

Автор: destiny